Приближённое вычисление математических функций для калькулей

[Shaos]

Есть у меня книжка, купленная в библиотеке УПИ в конце 90х за 50 копеек по причине списания про стандартные математические функции системы М-7000 для СМ ЭВМ и там есть алгоритмы приближённого вычисления логарифмов, экспоненты, корня, синуса, тангенса и т.д. - я хочу их задействовать в собственных программах для гипотетического калькулятора (например троичного). Проблема лишь в том, что информация там не совсем полная для некоторых функций, например синус-косинус вычисляется путём вызова функции CHEBY, которой нужны коэффициенты, обозначенные в книжке просто как C0, C1, C2 ... Cn - пришлось поискать в интернете и вот что нашлось:

https://3ys.ru/chislennye-metody-v-zadachakh-matematicheskogo-analiza/mnogochleny-chebysheva.html

sin.jpg

тут последнее слагаемое отбрасывается и получается точность 3.51E-9 (если надо точнее, то надо вычислить и подставить T11, T13 и т.д.)

[Shaos]

На самом деле по книжке чебышев вычисляется как T = 2xT[i-1]-T[i-2]+C, где T[0]=0 и T[1]=1 и результат выдаётся как (T[n]-T[n-2])/2
А для вычисления синуса по книжке оно вызывается так:
A=x*2/pi
B=A-4*int((A+1)/4)
если B>1, то B=2-B
и результат sin(x) равен CHEBY(2*B^2-1)
Получается коэффициенты из предыдущего сообщения надо пересчитать чтобы подставлялись вместо C при таком подходе
T[0]=0
T[1]=1
T[2]=2xT[1]-T[0]+C[2]=2x-0+C[2]=2x+C[2]
T[3]=2xT[2]-T[1]+C[3]=2x*(2x+C[2])-1+C[3]=4x^2+C[2]*2x+C[3]-1
T[4]=2xT[3]-T[2]+C[4] и т.д.

[Konstantin18]

А как же ряды Тейлора ?

Это я к тому, что для целочисленных аргументов можно свести к целочисленной математике.

Пример для синуса:

Screenshot from 2022-08-27 13-28-17.png

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b89940045b13c9bcd33512a3051b8869086947ed

[Shaos]

Ряды Тейлора вроде имеют неравномерную погрешность на покрываемой оси входных значений - Чебышев как-бы более единообразен:

ChebTailor.jpg

( хотя судя по цифрам коэффициентов - одно на другое очень похоже : )

[Lavr]

В калькуляторах, насколько я помню, был другой метод, назывался "цифра-за-цифрой"...
А вот в чем там суть была, сейчас - убей, не помню..

[Shaos]

В калькуляторах, насколько я помню, был другой метод, назывался "цифра-за-цифрой"...
А вот в чем там суть была, сейчас - убей, не помню..

Да, натыкался на это тоже, но я хочу универсальную библиотеку сделать - для ретрокомпов тоже, так что по классическому пути пойду

[Lavr]

Я единственное что хорошо помню, что реализация метода "цифра-за-цифрой"
очень компактна для ограниченных ресурсов калькуляторов. Как-то так...

А читать и вспоминать - мне что-то не захотелось...

[dvarkin]

Цифра-за-цифрой чем-то напомнил cordic.

[Lavr]

Читал я статейку про арифмометр Однера (aka ФеликсЪ) и наткнулся на весьма любопытный алгоритм:

... квадрат целого числа n равен сумме нечётных чисел от 1 до 2n–1. Например, 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. Причём в сумме как раз n слагаемых. Таким образом, для нахождения корня из некоторого числа на арифмометре надо складывать нечётные числа, пока не получится это число. Ответ при этом показывается на счётчике оборотов, на котором отображается число слагаемых.

Подробнее см.: https://www.nkj.ru/archive/articles/38885/ (Наука и жизнь, Рождение легенды)

[Shaos]

А вот интересно можно такой подход на дробные числа распространить?
Скажем корень из 27.5 - доходим до 25 (количество оборотов 5) и следующее значение будет 36 (количество оборотов 6)
Если взять тупо линейную интерполяцию, то будет 2.5/11=0.227 т.е. приближённый ответ 5.227 а настоящий - 5.244
Можно приближать не линейно, а выпукло...

[Shaos]

Ешё в тему (взято отсюда):

сигналы надо перевести в логарифмический вид, перемножение величин эквивалентно сложению их логарифмов, результат следует перевести из логарифмической формы

Мне про такой трюк научрук рассказывал, когда я активно работал над своей диссертацией в конце 90х ...

Кстати говоря, во всех 8-битных компьютерах с Basic-ом умножение и деление так и выполняются,
как сложение и вычитание логарифмов, только программным путём.

...открой исходник Васика от Биллагейца - и всё сам увидишь.
Да и библиотека мат. функций от "ЮТ-88" точно также устроена - мы где-то тут
разбирали её...

[Lavr]

Скажем корень из 27.5 - доходим до 25 (количество оборотов 5) и следующее значение будет 36 (количество оборотов 6)

Мне всё же думается, что эти алгоритмы целочисленные, и "крутить ручку" надо до числа
2750 по меньшей мере, если я не ошибаюсь, а потом вернуть десятичную точку на место.

[Shaos]

Скажем корень из 27.5 - доходим до 25 (количество оборотов 5) и следующее значение будет 36 (количество оборотов 6)

Мне всё же думается, что эти алгоритмы целочисленные, и "крутить ручку" надо до числа
2750 по меньшей мере, если я не ошибаюсь, а потом вернуть десятичную точку на место.

Ну да - похоже на правду
sqrt(27.5)=5.244
sqrt(2750)=52.44

[Andnor]

52 оборота, да ещё после каждого менять число на следующее нечётное? Да вы задолбаетесь. Лучше методом Ньютона или даже по формуле квадрата суммы:

5^2=25, 6^2=36, первое ближе.
(5+x)²=25+10x+x², причём известно, что x<1 и скорее всего намного, поэтому x≈(27.2-25)/10=0.25, то есть sqrt(27.5)≈5.25, если надо точнее, возводим в квадрат по той же формуле, получаем 25+2.5+0.0625 (1/2^n = 5^n/10^n а тут 1/16 была), опять же учитывая, что производная квадрата это 2x, то надо ещё поделить это на 10.5, и получить примерно 0.006, вычесть это получим 5.244. Если трёх цифр после запятой мало, можно дальше считать. Но дальше лучше не считать в уме, а взять арифомометр, а арифмометра нету...

Ну ладно, заменим калькулятором, хотя им я и так уже корень посчитал... 5.244^2 = 27.499536, соответственно не хватает 0.000464, производная 2x, то есть 10.488 в этом районе, делим первое на второе, 0.0000442410, добавляем, выходит 5.244044241, квадратим: 27.500000001565266081. По-моему вполне достаточная точность...

А метод Ньютона - это бинарный поиск. Квадратить каждый результат и брать среднее арифметическое с одним из предыдущих в зависимости от знака.

[Lavr]

...тут уже желательно всё-таки взять арифмометр, а не считать в уме, а у меня его нету.

Да... это весьма заметно...